Do cấu trúc nhóm, ta có thể "điền vào" một bảng Cayley thiếu phần tử, mà không cần phải xem phép toán nhóm hoạt động như thế nào. Ví dụ chẳng hạn, vì mỗi hàng và mỗi cột phải chứa mọi phần tử trong nhóm, nếu có các phần tử đã được xét, thì ta có thể xem các phần tử chưa được xét để điền thêm vào. Dựa trên cách quan sát này, ta có thể xây bảng Cayley dù biết rất ít về nhóm đang xét.

"Bộ khung đơn vị" của một nhóm hữu hạn

Bởi vì trong bất kỳ nhóm nào, kể cả nhóm phi abel, mỗi phần tử phải giao hoán với chính nghịch đảo của nó, cho thấy các phần tử đơn vị sẽ được phân phối sao cho đối xứng qua đường chéo trong bảng, những phần tử có phần tử đơn vị nằm trên đường chéo chính là những phần tử có chính nó đồng thời là phần tử nghịch đảo.

Bởi vì thứ tự sắp xếp các hàng và cột của bảng Cayley trên thực tế là tùy ý, nên để thuận tiện, ta sẽ sắp xếp chúng theo cách sau: bắt đầu bằng phần tử trung hòa của nhóm, sau đó là các phần tử là nghịch đảo của chính nó, rồi mới đến các cặp nghịch đảo cạnh nhau.

Khi đó, với một nhóm hữu hạn với cấp nhất định, ta dễ nhận dạng được "khung đơn vị", được đặt tên tạm như vậy vì các phần tử đơn vị được đặt xung quanh đường chéo chính - hoặc nằm trên đường chéo chính, hoặc cách một so với nó.

Dễ chứng minh rằng hai nhóm mà có khung đơn vị khác nhau thì không thể là đồng phân với nhau, tuy nhiên điều ngược lại thì không đúng (ví dụ nhóm cyclic C8 và nhóm quaternion Q không đồng phân nhưng có cùng một khung).

Xét một nhóm sáu phần tử với các phần tử e, a, b, c, d và f. Theo quy ước, e là phần tử đơn vị trong nhóm. Vì phần tử đơn vị luôn là nghịch đảo của riêng nó và các phần tử đơn vị là duy nhất, và vì ta có 6 phần tử trong nhóm này nên phải có ít nhất một phần tử khác e là nghịch đảo của chính nó. Vì vậy, ta có thể xét các khung sau:

1. tất cả các phần tử đều là nghịch đảo của chính chúng,
2. tất cả các phần tử trừ d và f là nghịch đảo của chính chúng, mỗi phần tử trong số hai phần tử còn lại là nghịch đảo của phần tử kia,
3. a là nghịch đảo của chính nó, b và c là nghịch đảo, và d và f là nghịch đảo.

Ở ví dụ cụ thể trên, không tồn tại nhóm cấp 6 thỏa mãn khung đầu tiên; do đó, ta phải lưu ý rằng không phải mọi khung đều có một nhóm thỏa mãn nó.

Điền vào bộ khung đơn vị

Khi đã quyết định xong khung đơn vị, ta có thể bắt đầu điền bảng Cayley. Để lấy ví dụ, ta sẽ xét dạng thứ hai của khung đơn vị của nhóm cấp 6.

Dễ điền ngay lập tức hàng e và cột e vì mọi phần tử nhân với phần tử đơn vị đều ra chính nó. Sau đó ta có thể đưa ra một giả thuyết bất kỳ (có thể dẫn đến mâu thuẫn) và bắt đầu làm việc từ đây. Ta sẽ giả sử ở đây ab = c. Như vậy

Nhân ab = c từ bên trái bằng a cho ta b = ac. Khi nhân từ bên phải bằng c thì ta được bc = a. Nhân ab = c từ bên phải bằng b thì được a = cb. Nhân bc = a từ bên trái bằng b được c = ba, rồi nhân tiếp từ bên phải bằng a được ca = b. Sau khi nhân và điền xong, ta chỉ còn ad và af là chưa xét đến. Theo tính hoán vị trên, ta biết ad chỉ có thể bằng d hoặc bằng f. Dễ thấy ad không thể bằng d để vì nếu ad = d thì theo luật loại trừ sẽ cho ta a = e, mâu thuẫn với tiên đề nhóm. Do đó ad = f và af = d.

Hơn nữa, vì nghịch đảo của d là f, nên nhân ad = f từ bên phải với f sẽ cho a = f 2. Nhân tiếp đẳng thức này với d từ bên trái cho ta da = f. Tiếp tục nhân bên phải với a, ta có d = fa.

Điền tất cả tích trên, bảng Cayley lúc này có dạng:

Vì mỗi hàng và mỗi cột phải chứa mọi phần tử trong nhóm, mỗi phần tử chính xác một lần, ta dễ thấy hai ô trống còn lại ở hàng b phải được điền bằng d hoặc f. Mà cột d và f đều đã được d và f trong đó, nên bất kể cách ta điền d và f trong hàng b sẽ gây ra mâu thuẫn với luật hoán vị. Do đó giả thuyết ban đầu ab = c, là sai, tuy nhiên chúng ta lại biết được a b ≠ c {\displaystyle ab\neq c}

Như vậy ta chỉ còn hai khả năng ab = d hoặc ab = f. Nếu cả hai không thỏa mãn thì ta sẽ chứng minh được khung đơn vị đã cho không có nhóm nào thỏa mãn. Xét ab = d, ta có bảng Cayley mới sau:

Thực hiện các phép nhân với đẳng thức ban đầu, ta sẽ điền thêm được các giá trị sau (các giá trị mới được in đỏ).

Bởi hàng a thiếu c và f và af không thể bằng f, nên af = c. Nhân từ bên trái bằng a cho f = ac, rồi nhân tiếp từ bên phải bằng c để được fc = a. Tiếp tục nhân đẳng thức từ bên trái bằng d ta được c = da, rồi nhân tiếp từ bên phải bằng a để được ca = d. Nhân af = c từ bên phải bằng d sẽ cho ta a = cd. Như vậy ta sẽ điền thêm các phần tử (in trong màu xanh dương) như sau:

Vì hàng b thiếu c và d, và vì bc không thể bằng c, nên bc = d, và do đó bd phải bằng c. Nhân từ bên phải bằng f cho ta b = cf, ta có thể biến đổi tiếp thành cb = f bằng cách nhân c từ bên trái. Chứng minh tương tự, ta sẽ có c = fb và dc = b. Điền các phần tử trên (in màu xanh lá cây) trong bảng Cayley, ta được:

Theo luật hoán vị, ta có thể điền nốt hai hàng d và f mà không bị mâu thuẫn giả thuyết ban đầu. Việc xét bảng đã hoàn thành cho ta thấy nhóm này không giao hoán, và thậm chí cho biết nhóm này là nhóm nhỏ nhất phi abel, nhóm nhị diện D3: